[Nature News]카오스 이론의 선구자가 Abel 상을 거머쥐다. Nature News





Yakov Sinai는 예측할 수 없는 현상을 연구할 수 있는 기본적인 (수학적) 도구들을 개발하였다.

2014.3.26
Philip Ball
Yakov Sinai, Princeton University, Department of Mathematics

노르웨이의 Academy of Science and Letters는 2014년 Abel Prize를 러시아 태생의 수리물리학자인 Yakov Sinai (New Jersey주 Princeton University)에게 주기로 결정하였다. 이 상은 그의 "동역학계(dynamical system)와 에르고드 이론(ergodic theory) 그리고 수리물리학(mathematical physics)에 대한 근본적인 기여"를 기리기 위함이다. 

오늘 이번 수상에 대해 발표한 수학자 Jordan Ellenberg (Madison 주 University of Wisconsin)는 Sinai가 실제 물리계에 연관된 문제들을 "수학자의 영혼을 가지고" 연구하였다고 말한다. 그는 표면적으로는 달라보이는 계들이 큰 유사성을 가지고 있음을 보여줄 수 있는 도구들을 개발했다. 이는 Issac Newton이 사과의 낙하와 행성의 움직임이 같은 법칙을 따라 움직임을 보여준 것과 유사하다.

"수학과 물리학은 말과 마차처럼 항상 같이 가야합니다." 오늘 아침, Ellenberg와의 전화 인터뷰에서 Sinai가 한 말이다. Sinai는 소위 카오스 이론(chaos theory)을 포함한 복잡동역학계(complex dynamical system) 분야에 대한 기여로 가장 유명하다. 복잡동역학계 연구는 이상적인 수학 법칙을 실세계의 혼란스런 복잡함에 적용하는 것이라 할 수 있다. 아이작 뉴턴의 법칙은 행성의 움직임과 같은 몇몇 간단한 경우에 한하여 힘에 의한 물체의 움직임을 근사적으로 기술한다. 그러나 실세계의 동역학적 움직임을 관장하는 법칙은 더욱 복잡하기 마련이다. 기상계와 대류, 인구동역학, 심장의 박동과 같은 생리현상 등의 경우가 그러하다.


예측불가능한 대상을 예측하기

종종 이러한 것들의 움직임은 무작위적인 힘들에 의해 좌우된다. 예를들자면 열잡음(thermal noise)에 의한 소립자의 떨림 같은 경우이다. 이들은 확률 동역학적 프로세스(stochastic dynamical process)들이라 불린다. 뉴턴 역학의 완벽한 예측가능성(prefect predictability)은 유체의 흐름과 같이 상호작용하는 개체들이 지나치게 많을 경우 쉽게 무너진다. 심지어 뉴턴역학에 따르는 개체가 단 세 개만 존재하는 계라 할지라도 초기조건의 매우 작은(vanishingly) 차이가 긴 시간이 지난 후에는 매우 다른 결과를 가져온다. 때문에 이들 프로세스가 완전히 예측가능한 법칙을 따름에도 불구하고 외관 상으로는 무작위적으로 움직이는 것처럼 보인다. 이러한 유형의 '결정론적 카오스(deterministic chaos)'는 이제 태양계의 행성궤도에도 존재하는 것으로 알려져 있다.

Sinai는 이러한 행동들을 연구할 수 있는 수학적 도구를 개발해왔으며, 복잡동역학계 내 개체의 궤적이 예측불가능한 경우에도 일정하게 유지되는 값들을 발견해 왔다. 이에 대한 그의 관심은 그가 Moscow State University에서 Andrey Kolmogorov의 학생으로서 있었던 1950년대로부터 시작했다. 20세기의 위대한 수리물리학자인 Andrey Kolmogorov는 현대확률이론의 개척자들 중 하나이다.

Sinai와 Kolmogorov는 세세한 움직임의 예측이 불가능한 동역학계(결정론적 카오스에 의한 것이든, 혹은 무작위에 의한 것이든 간에)라 하더라도 그 움직임이 얼마나 복잡한지, 혹은 얼마나 예측 불가능한지를 보여줄 수 있는 값이 존재함을 발견하였다. 

미국의 수학자인 Claude Shannon는 1940년대에 일련의 정보에 엔트로피를 부여할 수 있음을 보여주었는데, 이에 영감을 받은 두 러시아의 수학자들은 지금은 Kolmogorov-Sinai (K-S) 엔트로피라 알려진 연관개념(related notion)을 만들어 내었다. K-S 엔트로피가 영인 계는 정확히 예측가능하다. K-S 엔트로피가 영이 아닌 계들에 대해서는 완벽하게 예측할 수가 없는데 카오스계는 이들에 포함된다.


복잡성을 측정하기

K-S 엔트로피와 같은 측정값들은 어떠한 계가 그것이 취할 수 있는 모든 상태들을 얼마만큼 빼놓지 않고 취할 수 있느냐와 연관된다. 어떤 계가 그것이 취할 수 있는 모든 상태를 거의 취할 수 있다면 이 계는 에르고드적이라 한다. 

에르고드적 행동을 연구하기 위한 모형계(model system)로 가장 중요한 것은 1960년대에 Sinai가 도입한 Sinai의 당구(Sinai billard)이다. 이 이상적인 계에서 입자는 사각형의 상자 안을 에너지를 잃지 않고 튀어 다니는데, 그 상자 중앙에는 원형의 기둥이 있다(**아래의 그림 참조). Sinai 그 자신에 의해 증명된 바, 이 동역학계는 그것 내의 모든 입자의 궤적이 에르고드적임, 즉 이 입자들은 움직이는 동안 모든 가능한 공간들을 통과한다는 것이 밝혀진 첫 번째 계이다. 동시에 이 계는 카오스적인데, 입자의 초기 궤적의 미미한 차이가 금새 전혀 다른 움직임으로 귀결된다는 점에서 그러하다.


이러한, 또는 다른 방식들을 통해 Sinai는 유체의 격렬한 흐름(turbulent fluid flow), 가스의 미시통계학적 이론(statistical microscopic theory of gases), 양자역학계 내의 카오스(chaos in quantum-mechanical systems)를 이해할 수 있는 바탕을 한발 앞서 마련하였다.

Abel상은 노르웨이의 수학자인 Niels Henrik Abel (1802-29)를 따라 이름지어진 상으로 Nobel 상을 본으로 하고 있으며 2003년부터 매년 수상되어왔다. 상금은 6백만 노르웨이 크로네(약 백만 미국달러)이다.

"나는 내가 기꺼이 여기는 동료 과학자이자 친구인 Sinai가 이 상을 받았다는 것이 즐겁습니다." 수리물리학자인 Michael Berry (영국, the University of Bristol)의 말이다. 그는 카오스적 양자당구 및 복잡동역학계의 다른 측면들에 대해 연구해왔다.

Ellenberg는 Sinai의 연구가 수학에서 "훌륭한 정의(definition)가 훌륭한 정리(theorem)만큼이나 중요함"을 보여주었다고 말한다. "물리학자들이 엔트로피가 의미하는 바에 대해여 대충 이해하고 있덨던 반면에 Sinai는 "정확히 우리가 (*그 단어를 통해) 뜻하는 바가 무엇인지"를 물었습니다. 이 올바른 정의를 얻기 위한 움직임(이는 모든 현대수학이론의 시작점이라 할 수 있습니다)이 Sinai가 계의 작동 방식에 있어서 정말로 중요하고 근본적인 것을 밝혀낼 수 있도록 도운 것입니다." Ellenberg의 말이다.


*뜻을 명확히 하기위해 추가하였습니다.

**원 사이트에는 동영상이 있습니다. 퍼올려고 별 짓을 다 해봤는데 작동하지 않네요. 친절하게 code copy가 있길래 올타구나 업어왔더니만... 되기는 개뿔.

덧> 관심이 많은 분야라 발표된 날부터 번역을 시작했는데, 공부해가면서 번역을 하다보니 시간이 꽤 걸렸네요...; 혹시 오역한 부분이나 잘못된 부분이 있다면 얼마든지 지적 환영입니다.ㅎ

덧글

  • ㅇㅇㅇㅇ 2014/04/04 09:20 # 삭제 답글

    ergodic이 phase spce를 다 지날 수 있다는 걸 의미하는 건지, 시간 분포에 대해 uniform한 건지, 정의를 내려주시면 감사. 후자 같긴 한데, 말로는 항상 전자로 해서...
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